以下是引用beyondyf在2012-7-31 18:22:46的发言：

重新整理一下这个命题的描述。

只要满足sqrt(8*n+1)是个自然数的整数n一定可以表示成n = (i^2 + i)/2的形式（其中i是整数）。


下面我将用反正法来证明。

设sqrt(8*n+1) = x，x是个自然数

那么 n = (x^2 - 1)/8 = (x - 1)*(x + 1)/8

由这个式子可以得出结论，x必然是个奇数。这个证明很简单，就不说了。


现在，假设存在这样的整数n，使得 n = (x^2 - 1)/8，且n != (i^2 + i)/2

即

(x^2 - 1)/8 != (i^2 + i)/2

x^2 - 1 != 4 * i^2 + 4 * i

x^2 != 4 * i^2 + 4 * i + 1 = (2 * i + 1)^2

x != 2 * i + 1

由于x是个奇数，所以x必然可以表示成2 * i + 1的形式，即对于任意的x，必然存在一个整数i，使得 x = 2 * i + 1。

由此证明假设不成立，而原命题成立。

证毕。

以下是引用Devil_W在2012-7-31 18:47:04的发言：

 
 
能不能证明下面这个问题
 
如果 2n +1 和 3n+1都是完全平方的话，那么n必定是8的倍数?

以下是引用有容就大在2012-7-31 20:22:35的发言：

刚分析错了  重新来

2n + 1 = p * p  
--> 2n = (p + 1)(p - 1)
--> 等式右边是偶数 p + 1 和 p - 1必然是两个连续的偶数
--> 2n 一定是8的倍数 因为两个连续偶数的乘积必定是8的倍数。
--> n是4的倍数

3n + 1 = q * q
--> 3n = (q - 1)(q + 1)
--> 因为要满足第一个条件 n必然是4的倍数
--> 3 * 4 * k = (q - 1)(q + 1)
--> 3 * 4 * k = 8 * m;
--> 3 * k = 2 * m
--> k 是一个偶数 那么4 * k 就必然是8 的倍数

综合两个条件 可以得到 n 是8的倍数。