[转帖]计算圆周率 Pi (π)值，精确到小数点后 10000 位，只需要30多句代码！ - VC++/MFC - C++论坛

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[转帖]计算圆周率 Pi (π)值，精确到小数点后 10000 位，只需要30多句代码！

大家都知道π=3.1415926……无穷多位, 历史上很多人都在计算这个数, 一直认为是一个非常复杂的问题。现在有了电脑, 这个问题就简单了。电脑可以利用级数计算出很多高精度的值, 有关级数的问题请参考《高等数学》,以下是比较有名的有关π的级数: 其中有些计算起来很复杂, 我们可以选用第三个, 比较简单, 并且收敛的非常快。因为计算π值, 而这个公式是计算π/2的, 我们把它变形: π = 2 + 2/3 + 2/3*2/5 + 2/3*2/5*3/7 + ...

对于级数, 我们先做个简单测试, 暂时不要求精度: 用 C++ Builder 新建一个工程, 在 Form 上放一个 Memo1 和一个 Button1, 在 Button1 的 OnClick 事件写:

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender) { double x=2, z=2; int a=1, b=3; while(z>1e-15) { z = z*a/b; x += z; a++; b+=2; } Memo1->Text = AnsiString().sprintf("Pi=%.13f", x); }

按Button1在Memo1显示出执行结果: Pi=3.1415926535898

这个程序太简单了, 而且 double 的精度很低, 只能计算到小数点后 10 几位。把上面的程序改造一下, 让它精确到小数点后面 1000 位再测试一下: 在 Form 上再放一个按钮 Button2, 在这个按钮的 OnClick 事件写:

void __fastcall TForm1::Button2Click(TObject *Sender) { const ARRSIZE=1010, DISPCNT=1000; //定义数组大小，显示位数 char x[ARRSIZE], z[ARRSIZE]; //x[0] x[1] . x[2] x[3] x[4] .... x[ARRSIZE-1] int a=1, b=3, c, d, Run=1, Cnt=0; memset(x,0,ARRSIZE); memset(z,0,ARRSIZE); x[1] = 2; z[1] = 2; while(Run && (++Cnt<200000000)) { //z*=a; d = 0; for(int i=ARRSIZE-1; i>0; i--) { c = z[i]*a + d; z[i] = c % 10; d = c / 10; } //z/=b; d = 0; for(int i=0; i<ARRSIZE; i++) { c = z[i]+d*10; z[i] = c / b; d = c % b; } //x+=z; Run = 0; for(int i=ARRSIZE-1; i>0; i--) { c = x[i] + z[i]; x[i] = c%10; x[i-1] += c/10; Run |= z[i]; } a++; b+=2; } Memo1->Text = AnsiString().sprintf("计算了 %d 次\r\n",Cnt); Memo1->Text = Memo1->Text + AnsiString().sprintf("Pi=%d%d.\r\n", x[0],x[1]); for(int i=0; i<DISPCNT; i++) { if(i && ((i%100)==0)) Memo1->Text = Memo1->Text + "\r\n"; Memo1->Text = Memo1->Text + (int)x[i+2]; } }

按 Button2 执行结果: Pi=03. 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094 3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912 9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859 5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

这下心理有底了, 是不是改变数组大小就可以计算更多位数呢？答案是肯定的。如果把定义数组大小和显示位数改为: const ARRSIZE=10100, DISPCNT=10000; //定义数组大小，显示位数执行结果精度可达 10000 位: Pi=03. 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094 3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912 9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859 5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989 3809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151 ... 限于篇幅, 这里就省略了, 还是留给你自己来算吧！ 5020141020672358502007245225632651341055924019027421624843914035998953539459094407046912091409387001 2645600162374288021092764579310657922955249887275846101264836999892256959688159205600101655256375678

提高精度的原理: 以上程序的原理是利用数组把计算结果保存起来, 其中数组每一项保存10进制数的一位, 小数点定位在数组第1个数和第二个数之间, 即小数点前面2位整数, 其余都是小数位。利用电脑模拟四则运算的笔算方法来实现高精度的数据计算,没想到最原始的方法竟然是精度最高的。

计算圆周率

古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢，十九世纪后，计算圆周率的世界纪录频频创新。整个十九世纪，可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机，人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。历史上最马拉松式的计算，其一是德国的Ludolph Van Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正2^⁶²边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的William Shanks，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用Ludolph Van Ceulen算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年Lambert证明了圆周率是无理数，1882年Lindemann证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。现在的人计算圆周率, 多数是为了验证计算机的计算能力，还有，就是为了兴趣。