2n+1 , 3n+1 都为完全平方数， n比为5 和8的倍数的finalize证明
引理1：N^2 mod 5 的结果只能为 0, 1, 4
引理2：
N^2 mod 8 的结果也只能为0,1,4
证明引理1：
当 N = 5n 时， N^2 mod 5 = 0
当 N = 5n+1 时， N^2 mod 5 = 25n^2 + 10 n + 1 mod 5 = 1
当 N = 5n+2 时， N^2 mod 5 = 4 mod 5 = 1
当 N = 5n+3 时， N^2 mod 5 = 9 mod 5 = 4
当 N = 5n+4 时， N^2 mod 5 = 16 mod 5 = 1
即 引理得证。
同理 ， 引理2 证略
由引理1 得知，完全平方数mod 5的 结果只能是0,1,4, 那么 2n+1 和 3n+1 mod 5也必定为 0, 1, 或者4
假设 存在 n 不能被5整除， 并且 2n+1 和 3n +1 均为完全平方数
根据假设 n不能被5整除 那么 n mod 5的结果 有可能为 1 ,2,3,4
若 n mod 5 = 1 ，那么 2n+1 mod 5 = 3 , 不符符合 N^2 mod 5 为 0, 1, 4 的结论。
若 n mod 5 = 2 , 那么 3n+1 mod 5 = 2, 同上 不符合
若 n mod 5 = 3 , 那么 2n+1 mod 5 = 2, 同上 不符合
若 n mod 5 = 4 , 那么 3n+1 mod 5 = 3, 同上 不符合
故不存在 n不能被5 整除，且 2n+1, 3n+1为 完全平方数
即 得证 若 2n+1 , 3n+1 均为 完全平方数， 那么 n 必能被5整除。
同法 假设 存在 n不能被8 整除，且，2n+1, 3n+1 为完全平方数
n mod 8 = 1 => 2n+1 mod 8 = 3, 不符合引理2
n mod 8 = 2 => 2n+1 mod 8 = 5, 同上 不符合
n mod 8 = 3 => 2n+1 mod 8 = 7, 同上 不符合
n mod 8 = 4 => 3n+1 mod 8 = 5, 同上 不符合
n mod 8 = 5 => 2n+1 mod 8 = 3, 同上 不符合
n mod 8 = 6 => 2n+1 mod 8 = 5, 同上 不符合
n mod 8 = 7 => 2n+1 mod 8 = 7, 同上 不符合
故不存在 n不为8的倍数，且 2n+1 , 3n+1为完全平方数
即得证 若 2n+1, 3n+1均为 完全平方数， 那么 n必能被8整除。
