补 码 表 示
由于原码表示中0的表示形式的不唯一和原码加减运算的不方便,造成实现原码加减运算的硬件比较复杂.为了简化运算
让符号位也作为数值的一部分参加运算,并使所有的加减运算均以加法运算来代替实现,人们提出了补码表示方法.
1 . 模 的 概 念
补码表示的引入是基于模的概念. 所谓"模"是指一个计数器的容量,比如钟表以12为一个计数循环,既可以看做以12
为模.在进行钟表对时时,设当前钟表的时针停在 9 点钟位置,要将时针拔到4点钟.可以采用两种方法: 一是反时针方向
拔动指针,使时针后退5个小时,即 9 - 5 = 4 ; 另一种是顺时针方向拔动指针,使时针前进7个小时,也能够使时针指向
4. 这是因为表钟的时间只有 1,2,.....,12 这12个刻度,时针指向超过12时,将又指向1,2,........,相当于每超
过12,就把12丢掉. 由于9+7=16,超过了12,因此把12减掉后得到4, 即用 9+7 也同样能够将表钟对准到4点钟. 这样,
对于采用12为模的钟表而言, 9-5 ≡ 9+7 ( mod 12 ) ,称为在模12的条件下,9-5等于9+7. 这里, 7 称为 -5 对 12
的补数, 既 7 = [-5]补 = 12 + (-5) (mod 12) . 这个列子说明,对某一个确定的模而言,当需要减去一个数X时
,可以用加上 X 对应的负数 -X 的补数 [-X] 补来代替.
对于任意X,在模M的条件下的补数[X]补,可由下式给出:
[X]补 = M + X (mod M)
根据公式:
1.当 X>=0 时, M+X大于M,把M丢掉,得[X]补=X,既正数的补数等于其本身.
2.当 X<0 时 ,[X]补=M+X=M-|X|,既负数的补数等于模与该数绝对值之差.
例: 求模M=2时,二进制数X的补数
(1)X=+0.10110101 (2)X=-0.10110101
解: (1)因为X>=0,把模2丢掉,所以 [X]补 = 2+X = 0.10110101 (mod 2)
(2)因为X<0 ,所以 [X]补 =2+X
=2-|X|
=10.00000000-.010110101
= 1.01001011(mod 2)
2. 补 码 的 定 义
在计算机中,由于硬件的运算部件与寄存器都有一定的字长限制,既计算机硬件能够一次处理的二进制数据的长度
是有限的,因此计算机中的运算也是有模运算.例如一个位数为8的二进制计数器,计数范围为00000000-11111111,当计数
满到11111111时,再加1,计数值将达到100000000,产生溢出,最高位的1被丢掉,使得计数器又从00000000开始计数.对于
这个8位二进制计数器而言,产生溢出的量100000000就是计数器的模,相当于前述钟表中的12.
由于计算机中的数据均采用二进制编码表示,因此通常将某数对模的补数称为补码.对于数值部分的位数为N的二进
制数据X,下列式字给出了X为纯小数±0.x1x2...xn和X为纯整数±X1X2....XN时的补码的表示定义.
纯小数补码的定义:
X 0 ≤ X < 1
[X]补 = (mod 2)
2+X -1≤ X < 0
纯整数补码的定义:
X 0 ≤ X <2^N
[X]补 = (mod 2^(n+1))
2^(N+1)+X -2^N ≤ X <0
根据式子可以知道:
X的补码[X]补是一个N+1位的机器数X0X1X2.....XN,其中X0是符号位,X1X2....XN为数部分,N为X数值
位的长度,并且纯小数补码表示的模M=2;纯整数补码表示的模M=2^(N+1).
例: 已知X,求X的补码[X]补.
1. X=+0.1010110 2. X=-0.1010110 3. X=+1010110 4. X=-1010110
解:通过定义可以知道:
1.[X]补 = X =0.1010110
2.[X]补 = 2+X = 10.0000000+(-0.1010110) = 1.0101010
3.[X]补 = X =1010110
4.[X]补 = 2^7+X = 10000000+(-1010110) = 10101010
可得:X0是符号位,X>=0,X0=0;X<0,X0=1.
3. 特 殊 数 的 补 码 表 示
(1)真值0的补码表示
真值0的补码表示是唯一的:
[+0]补 = [-0]补 = 2±0.00....0 = 0.00...00 (纯小数)
[+0]补 = [-0]补 = 2^(N+1)±0.00....0 = 0.00...00 (纯整数)
(2) -1 和 -2^N 的补码表示
在纯小数补码表示中,[-1]补 = 2 + (-1) = 10.00....0 + (-1.00...0) = 1.00...0
在纯小数的原码表示中,[-1]原 是不能表示的; 而在补码表示中,纯小数的补码最小可以表示到-1,这时
在[-1]补中,符号位的1既表示符号"-",又表示数值1.
在纯整数表示中有:
[-2^N]补 = 2^(N+1) + (-2^N) = 1000...0(N+1个0) + (-100..0)(N个0) = 100..0(N个0)
同样,在纯整数的原码表示中,[-2^N]原 是不能表示的;而在补码表示中,在模为2^(N+1)的条件下.纯整数的补码
最小可以表示到-2^N.这时,符号位的1既表示符号"-",也表示数值2.
4. 补 码 的 简 求 法
给一个X,若:
(1) X>=0; 则 [X]补 = X, 并使其符号位为0.
(2) X <0; 则将X的各位取反,然后在最底位上加1,并使符号位为1,既得到[X]补.
证明:
设X为纯小数,根据定义式有:
当 X = +0.X1X2...XN 时, [X]补 = X =0.X1X2....XN,这时符号位为0,表示X>=0;
当 X = -0.X1X2...XN 时, [X]补 = 2+X
= 2 - 0.X1X2...XN
= 1.11...1+0.00...1 - 0.X1X2...XN
= 1.X1X2..XN + 0.00...1
所以当X<0时,将X的各位取反,再在最底位上加1,既可求的X的补码[X]补.
纯整数的补码也可以采用同样的简便方法求得,大家自己证明一吧.
例: 用简便方法求出下列X的补码.
1. X=+0.1010110 2. X=-0.1010110
解: 1. ∵X>=0 ∴[X]补 = X = 0.1010110
2. ∵X<0 ∴将X的各位取反得 1.0101001,再在最底位加1,得 [X]补 = 1.0101001+0.0000001
= 1.0101010
5. 补 码 的 几 何 性 质
根据补码的定义,可以得到补码的几何性质.下面以N=3的整数为例,说明补码的几何性质.N=3的所有整数的补码
如下表
真值 补码 真值 补码
+000(+0) 0000 -001(-1) 1111
+001(+1) 0001 -010(-2) 1110
+010(+2) 0010 -011(-3) 1101
+011(+3) 0011 -100(-4) 1100
+100(+4) 0100 -101(-5) 1011
+101(+5) 0101 -110(-6) 1010
+110(+6) 0110 -111(-7) 1001
+111(+7) 0111 -1000(-8) 1000
将这个表中的数的真值与补码反映在数轴上就可以看到补码的几何性质,如下图(如果看不清楚就直接点图)
补码的几何性质说明了以下2点:
一: 整数的补码就是其本身,负数表示的实质是把负数映像到正值区域,因此加上一个负数
或减去一个正数可以用加上另一个数(负数或减数对应的补码)来代替`
二: 从补码表示的符号看,补码中符号位的值代表了数的正确符号0正,1负;而从映像值
看,符号位的值是映像值一个位数,因此在补码中,符号位可以与数值一起参加运算.
6. 补 码 的 几 个 关 系
(1) 补码和原码的转换关系
若X>=0, 则[X]原=[X]补.
若X<0 , 则将[X]原除符号位以外的各位取反后,再在最底位上加1,即可得到[X]补;反之将[X]补除符号位以外
的各位取反后,再在最底位加1,即可得到[X]原.
例: 将以下X的原码表示转换为补码表示.
1. [X]原 = 0.1010110 2. [X]原 = 1.1010110 3. [X]原 = 01010110 4. [X]原 = 11010110
解: 1. ∵X>=0; ∴[X]补 = 0.1010110
2. ∵X<0 ; ∴[X]补 = 1.0101010
3. ∵X>=0; ∴[X]补 = 01010110
4. ∵X<0 ; ∴[X]补 = 10101010
可以看出一个规律: 当X<0时,保持原码的符号位不变,从[X]原的最低位开始向高位扫描,在遇到第一个1之后,保持
该位1和比其低的各位不变,将其余位变反,即可得到[X]原对应的补码.
(2) 补码与机器负数的关系
如前所述,在模 M 的条件下,当要减去一个数X时,可以用加上 X 对应的负数的补码数 [-X]补来替代.通常把
[-X]补 称为机器负数,把由[X]补求[-X]补的过程称为对[X]补求补或变补.在补码运算过程中常需要在已知[X]补的条件
下求[-X]补.对[X]补求补的规则是: 将[X]补的各位(含符号位)取反,然后在最底位加1,即得到[-X]补.反之亦然.
例: 已知[X]补,求[-X]补.
1. [X]补 = 01001101 2. [X]补 = 10110011
解:根据规则可得: 1. [-X]补 = 10110011
2. [-X]补 = 01001110
(3) 补码的左移动和右移
移位规则:
1.补码的左移,符号位不变,数值部分左移,最底移出的空位填0.
2.补码的右移,符号位不变,最高移出的空位填补与符号位相同的代码.
例: 已知[X]补,求[2X]补和[1/2]补.
1. [X]补 = 0.0101001 2. [X]补 = 11011010
解: 1. [2X]补 = 0.1010010 左移后,符号位不变,数值最高位移出,最底填0.
[1/2]补 = 0.0010100 右移后,符号位不变,数值最高位填补与符号位相同的0,末尾1被移出
2. [2X]补 =10110100 左移后,符号位不变,数值最高位移出,最底填0.
[1/2]补 = 11101101 右移后,符号位不变,数值最高位填补与符号位相同的1,末尾0被移出
在左移过程中,注意不要将高位的有效数值位移出.否则回出错.例如,将8位纯整数补码[X]补 = 01011010 进行左移时
,需要将数值最高位的1移出,如果将数值1移如符号位,则回造成符号错误,既将正数的补码变成了负数的补码;然后如果将
1丢掉,又将失去最高位的有效数值,造成出错.同理,如果要将8为纯整数补码[X]补 = 10011010 进行左移,也回出现同样
的错误.
7. 补 码 的 特 点
1. 在补码表示中,用符号位X0表示数值的正负,形式与表示原码相同,既0表示正1表示负.但是补码的符号可
看做是数值的一部分参加运算.
2.在补码表示中,数值0只有一种表示方法,既00...0.
3.负数补码的表示范围不负数原码范围略宽,纯小数的补码表示到-1,纯整数的补码可以表示到-2^N.
由于补码表示中的符号位可以与数值位一起参与运算,并且可以将减法转换为加法进行运算,简化了运算过程,
因此计算机中均采用补码进行加减运算.
好累```一个字``````````````````休息
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