今天给一个当家的中学生讲解了笔算开平方，初中都接触了\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\),  假设ab表示一个广义2位数，b代表个位数，a代表十位数，则ab=10a+b，然后\((10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2\)，  我们理解不清时，把100a不去考虑，仅仅考虑20ab+\(b^2\)形式，提出公因子b，则为20a+b，然后先以20a作为试商，开始第一步不用考虑，只考虑某一个数的平方即可，从第二步，考虑（20a+b）*b的值，以20a作为先前考虑的倍值，忘了说一件事情，笔算开平方，与多位数除法类似，只不过，第一步是先划分，从个位开始，两位数划分一个段落，确定开方数是几位数，划分的段落数即为开方数的位数，与多位数除法不同之处，多位数除法每次是一位一位的下拉，而笔算开平方是两位两位的下拉。现在讲解一个实例，比如125笔算开平方，先划段，1,25，说明开出来的方值是两位数的，第一步是1,1*1=1，所以第一个数上1,1-1=0，把25拉下来，这时，a=1,20a=20,25除20，最大试商是1，另b=1,20a+b=20*1+1=21，（20a+b）*b=21*1=21,25-21=4，补两位数，变成400，这时a=11,20a=220，用220作为试商，400/220=1.多，所以最大试商是1,20a+b=20*11+1=221，（20a+b）*b=221*1=221,400-221=179，再补两位数，变成17900，这时a=111,20a=2220，以2220作为试商，17900/2220=8.063，最大试商是8，另b=8,20a+b=111*20+8=2228,2228*8=17824,17900-17824=76，再次增加两位，变成7600，这时a=1118了，20a=22360，显然7600不是它的倍数，那么只能再扩大2位数，变成760000，........，一直下去，直到满足有效位即可（笔算开平方时要求精确到的位数）。

[此贴子已经被作者于2022-8-21 19:28编辑过]

建一种算法，必须对原理熟悉，陌生方面的肯定难于着手。

人们对笔算开平方并不感兴趣，因为有开方函数（不同软件中一般应该自带）。

没有人插手这个问题。如何上手是关键。

如果没有人发表点看法，这分结转给谁？看来，不能自己挖坑。

没有办法，只好终止悬赏。

有时把数学语言用程序翻译出来并不容易。
安照笔算开平方原理，（a+b）^2=a^2+2ab+b^2,把ab看成两位数，a占十位数，b占个位数，则广义二位数ab可写成10a+b的形式，那么(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2,我们暂时不要考虑高位的100a^2,仅仅考虑20ab+b^2,提出公因子b，小括里是（20a+b）这个式子，以20a作为试商，最大值不超9，然后逐步递减。
    当n=3时，原理一样，此时是:(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,同样不要考虑最高位的a^3,如果也安广义2位数去理解，则把a用10a代替，其结果是1000a^3+300a^2b+30ab^2+b^3,去掉最高位的1000a^3，同样提出提出公因子b，则小括里（300a^2+30ab+b^2）,以300a^2作为试商，同理是从个位开始划分段落，每三位一段，小数点后，每次增大三位数，即三位三位的下拉，这是与多位数除法不一致的地方。
     笔算开平方没有统一的模式，至于小数点的就不要强求了。
     知道方法就好，没有必要伤脑筋，2,3,4可以玩一玩，再高，笔算开方也没有多大实际意义。

这样玩的有点大，不过只要你有耐心，还是可以进行的。
无非就是（10a+b）^10=∑C(n,m)(10a)^(n-m)b^m,n=10,m∈[0,10],也就是11项连加，仍就撇开最高位的10^10*a^10,把后边的式子提出公共因子b来，然后以10*10^9a^9作为试商（最大值为9），试商后计算多项式的值，乘b后不大于拉下的值（每次增位是10位数），计算量有点大，可借助计算机（实际上借助计算机也无济于事，因为位数不够），光靠笔算，真是比登天还难，怕是用A4纸都不够看，要用8裁的纸才能写下，而且保留有效位数不能太多。
    所以，笔算开平方只是加强对二项式展开式的深度理解，这种苛刻的笔算开平方没有更多现实意义，玩它没有什么必要，降降级，玩个n=5,6的情形也可以，锻炼计算的马虎性。

我也没有细心计算，1.2^13=10.6993205379072
10.6993205379072,第一步，上个1（即，最高位是1，也就是a=1），不能上2，因为2的10次方是1024，从个位往高位划段，每10位数划分一段，10就能划分1段，所以，开方数是一个个位小数。第二步，就步入正规，10-1^10=9,然后拉下10位数，为96993205379，最大试商是2（3就是负数了）。
10a次方    b次方    C(10,i)    系数*(10a)^j    *a^j    *b^i    1    2    积
9    1    10    10000000000    a^9    b^1    1    2    20000000000
8    2    45    4500000000    a^8    b^2    1    4    18000000000
7    3    120    1200000000    a^7    b^3    1    8    9600000000
6    4    210    210000000    a^6    b^4    1    16    3360000000
5    5    252    25200000    a^5    b^5    1    32    806400000
4    6    210    2100000    a^4    b^6    1    64    134400000
3    7    120    120000    a^3    b^7    1    128    15360000
2    8    45    4500    a^2    b^8    1    256    1152000
1    9    10    100    a^1    b^9    1    512    51200
0    10    1    1    a^0    b^10    1    1024    1024
                            减数    51917364224
                            被减数    96993205379
                            差值    45075841155
假设另b=3，
10a次方    b次方    C(10,i)    系数*(10a)^j    *a^j    *b^i    1    3    积
9    1    10    10000000000    a^9    b^1    1    3    30000000000
8    2    45    4500000000    a^8    b^2    1    9    40500000000
7    3    120    1200000000    a^7    b^3    1    27    32400000000
6    4    210    210000000    a^6    b^4    1    81    17010000000
5    5    252    25200000    a^5    b^5    1    243    6123600000
4    6    210    2100000    a^4    b^6    1    729    1530900000
3    7    120    120000    a^3    b^7    1    2187    262440000
2    8    45    4500    a^2    b^8    1    6561    29524500
1    9    10    100    a^1    b^9    1    19683    1968300
0    10    1    1    a^0    b^10    1    59049    59049
                            减数    127858491849
                            被减数    96993205379
                            差值    -30865286470
差值已经是负数了，所以小数点后第一位小数是2，
当是2时，差值为:45075841155,再拉10位数，紧跟着还有0720000000，就成了450758411550720000000，这是个21位的大数，此时a=12,12的9次方，再扩大10^10倍作为试商，你能做到吗？也就是第三步就进行不下去了，如果得到了第三步结果，当第四步时，a是个三位数，它的9次方，再扩大10^10倍作为此时的试商，空拍此时大脑已经快爆炸了，如果毅力够坚强，这一步闯过去了，来到第五步，a是4位数，它9次方，扩大10^10倍作为试商（仅仅给你举了最大项，其实还有9项连加的），.......，如此反复进行，你能精确到小数点后几位数？恐怕不敢贪大。
    所以，原则上笔算开方是可行的，实际上，没有多大的进展。

10a次方    b次方    C(10,i)    系数*(10a)^j    *a^j    *b^i    12    6    积
9    1    10    10000000000    a^9    b^1    5159780352    6    3.09587E+20
8    2    45    4500000000    a^8    b^2    429981696    36    6.9657E+19
7    3    120    1200000000    a^7    b^3    35831808    216    9.2876E+18
6    4    210    210000000    a^6    b^4    2985984    1296    8.12665E+17
5    5    252    25200000    a^5    b^5    248832    7776    4.87599E+16
4    6    210    2100000    a^4    b^6    20736    46656    2.03166E+15
3    7    120    120000    a^3    b^7    1728    279936    5.80475E+13
2    8    45    4500    a^2    b^8    144    1679616    1.08839E+12
1    9    10    100    a^1    b^9    12    10077696    12093235200
0    10    1    1    a^0    b^10    1    60466176    60466176
                            减数    389394976646954000000
                            被减数    450758411550720000000
                            差值    61363434903766200000
非精确计算，因为电脑的有效位是15位数，已经是21位，借助电脑也无法进行下去。
10a次方    b次方    C(10,i)    系数*(10a)^j    *a^j    *b^i    12    7    积
9    1    10    10000000000    a^9    b^1    5159780352    7    3.61185E+20
8    2    45    4500000000    a^8    b^2    429981696    49    9.4811E+19
7    3    120    1200000000    a^7    b^3    35831808    343    1.47484E+19
6    4    210    210000000    a^6    b^4    2985984    2401    1.50556E+18
5    5    252    25200000    a^5    b^5    248832    16807    1.05389E+17
4    6    210    2100000    a^4    b^6    20736    117649    5.1231E+15
3    7    120    120000    a^3    b^7    1728    823543    1.7077E+14
2    8    45    4500    a^2    b^8    144    5764801    3.73559E+12
1    9    10    100    a^1    b^9    12    40353607    48424328400
0    10    1    1    a^0    b^10    1    282475249    282475249
                            减数    472360210833394000000
                            被减数    450758411550720000000
                            差值    -21601799282673500000
如果试商是7，则为负值。