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标题:有偿求助:编写统计园内整点个数的程序
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njzzyy
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有偿求助:编写统计园内整点个数的程序
输出园半径R的园内整点个数,园周率精确到40位有效值,
搜索更多相关主题的帖子: 精确 个数 编写 输出 统计 
2022-05-19 17:39
rjsp
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有谁能听懂他在说什么吗?
是不是说求满足 x^2 + y^2 <= r^2 条件的所有(x,y)整数坐标的个数?如果这样的话,跟“圆周率”有什么屁关系?
还有“精确到40位有效值”,float才7.22位,double才15.95位,long double才19.26位。如果要40位精确度,那么这种浮点数的有效尾数就要133位,连非标准的float128都无法满足你的要求。
2022-05-20 08:32
njzzyy
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版主好!
半径R的园内 u^2 + v^2 ≤x= R^2,整点个数f(x),已知数据如下:
R        f(x)
10^1     37
10^2     317
10^3     3149
10^4     31417
10^5     314197
10^6     3141549
10^7     31416025
10^8     314159053
10^9     3141592409
10^10    31415925457
10^11    314159264013
10^12    3141592649625
10^13    31415926532017
10^14    314159265350589
10^15    3141592653588533
10^16    31415926535867961
10^17    314159265358987341
希望计算更大x值的f(x)值,

[此贴子已经被作者于2022-5-21 23:40编辑过]

2022-05-21 22:33
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回复 3楼 njzzyy
这是求π啊,你还是没说啥是整点啊,管说有多少个谁知道你那数是咋来的啊
再说了10的17次幂已经超范围了,普通计算机算不了太大的数

DO IT YOURSELF !
2022-05-22 06:00
njzzyy
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定义:间距是1的水平平行线簇,与间距是1的垂直平行线簇的交点,称为整点;或:u,v都是整数构成的二维坐标点(u,v),称为整点。
可以推广到多维情况;
设本高斯园的园心位于坐标原点(0,0),只需要计算并累加园内 2R 排(或2R列)的整点个数,某u值的水平整点个数f(x,u)=2(x-v^2)^0.5,

f(x)=Σf(x,u)=2(x-v^2)^0.5
其中,u值的求和范围(0,[x^0.5])

谢谢wp231957指正:统计并累加园内整点个数确定与园周率无关,理论值πx,才与园周率有关

[此贴子已经被作者于2022-5-22 08:45编辑过]

2022-05-22 08:39
rjsp
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我觉得有三个难点
a. 用什么类型来存储更大的数(可以写一个大数类)
b. 怎么快速开根号(可以用华罗庚快速开根号法)
c. 计算量是0.5倍指数上涨的(除非有更好的算法,但几乎不可能了)

程序代码:
#include <math.h>
#include <assert.h>

// 对一个整数开根号,这是效率的关键所在,但我使用了最烂的方法,只为了验证算法的正确性
unsigned long long sqrtint( unsigned long long n )
{
    unsigned long long r = (unsigned long long)sqrt( n*1.0 );
    // 因为sqrt精度不足,所以需要校正
    if( r*r > n )
        for( --r; r*r>n; --r );
    else if( r*r < n )
        for( ; (r+1)*(r+1)<=n; ++r );
    return r;
}

// 求 x^2 + y^2 <= RR 整数解的数目, 结果大约是 PI*RR
unsigned long long foo( unsigned long long RR )
{
    unsigned long long r = sqrtint( RR );
    unsigned long long w = sqrtint( RR/2 );

    unsigned long long t = 0;
    for( unsigned long long i=w+1; i<=r; ++i )
        t += sqrtint( RR - i*i );

    unsigned long long result = (2*w+1)*(2*w+1) + 4*(r-w) + 8*t;
    // 上述表达式可能产生数据溢出,另一种方法是在函数入口就限定 RR*PI必须小于unsigned long long所能表达的最大数
    assert( (2*w+1)*(2*w+1)/(2*w+1) == (2*w+1) );
    assert( result > 4*(r-w) + 8*t );
    return result;
}

#include <stdio.h>

int main( void )
{
    assert( foo(10) == 37 );
    assert( foo(100) == 317 );
    assert( foo(1000) == 3149 );
    assert( foo(10000) == 31417 );
    assert( foo(100000) == 314197 );
    assert( foo(1000000) == 3141549 );
    assert( foo(10000000) == 31416025 );
    assert( foo(100000000) == 314159053 );
    assert( foo(1000000000) == 3141592409 );
    assert( foo(10000000000) == 31415925457 );
    assert( foo(100000000000) == 314159264013 );
    assert( foo(1000000000000) == 3141592649625 );
    assert( foo(10000000000000) == 31415926532017 );
    assert( foo(100000000000000) == 314159265350589 );
    assert( foo(1000000000000000) == 3141592653588533 );
    assert( foo(10000000000000000) == 31415926535867961 );
    assert( foo(100000000000000000) == 314159265358987341 );
    printf( "f(10^18) = %llu\n", foo(1000000000000000000) );
    printf( "f(10^19) = %llu\n", foo(10000000000000000000) );
}


[此贴子已经被作者于2022-5-22 13:55编辑过]

2022-05-22 13:54
njzzyy
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谢谢rjsp编程计算!!!与10多年前得到的数据(没程序)一样,都计算到10^17,可能两种方法相同,并遇到相同的问题,不能计算更大数据,素数定理计算到10^28,不知道用什么方法:
(https://bbs.emath.
rjsp先生提出的三个问题,能解决嘛?
2022-05-22 21:13
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R        f(x)
10^1     37
10^2     317
10^3     3149
10^4     31417
10^5     314197
10^6     3141549
10^7     31416025
10^8     314159053
10^9     3141592409
10^10    31415925457
10^11    314159264013
10^12    3141592649625∑
10^13    31415926532017
10^14    314159265350589
10^15    3141592653588533
10^16    31415926535867961
10^17    314159265358987341

无法理解这些数据,如果半径为10,那么,互相垂直的两条直径上就有41个整点,全部计算出来,差距很大。也许我理解有误,楼主能否解惑。
计算公式大概应该是这样 ∑2*√(r*r-v*v)+1 v ∈[ -r,r] 公式正确性有待证明。
2022-05-22 23:28
jklqwe111
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计算公式 r为奇数:  f(r)=((r/2)*(r+1)+(r+1)/2)*4+1
 r为偶数:  f(r)=((r/2)*(r+1))*4+1

f(r)=4*(1+...+r)+1
2022-05-23 01:08
njzzyy
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如果半径为10:则:x=100,理论个数=πx≈314,上面编程计算的实际个数=317,显然,x越大,实际个数越接近理论个数πx
2022-05-23 08:40
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