拓扑排序之关键路径
/*Name: 拓扑排序之关键路径
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Author: 巧若拙
Date: 17-11-14 21:02
Description: 拓扑排序之关键路径
若在带权的有向图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，边上的权值表示活动的开销（如该活动持续时间），
则此带权的有向图称为边表示活动的网 (Activity on Edge Network) ，简称 AOE 网。
(1)AOV 网具有的性质
⒈ 只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各有向边所代表的活动才能开始。
⒉ 只有在进入某一顶点的各有向边所代表的活动都已经结束，该顶点所代表的事件才能发生。
⒊ 表示实际工程计划的 AOE 网应该是无环的，并且存在唯一的入度过为 0 的开始顶点和唯一的出度为 0 的完成顶点。
(2)由事件 v j 的最早发生时间和最晚发生时间的定义 , 可以采取如下步骤求得关键活动 :
1. 从开始顶点 v 1 出发 , 令 ve(1)=0, 按拓朴有序序列求其余各顶点的可能最早发生时间。
Ve(k)=max{ve(j)+dut(<j,k>)} （ 7.1 ）
j ∈ T
其中 T 是以顶点 v k 为尾的所有弧的头顶点的集合 (2 ≤ k ≤ n) 。
如果得到的拓朴有序序列中顶点的个数小于网中顶点个数 n ，则说明网中有环，不能求出关键路径，算法结束。
2. 从完成顶点 v n 出发，令 vl(n)=ve(n) ，按逆拓朴序列求其余各顶点的允许的最晚发生时间 :
vl(j)=min{vl(k)-dut(<j,k>)}
k ∈ S
其中 S 是以顶点 v j 是头的所有弧的尾顶点集合 (1 ≤ j ≤ n-1) 。
3. 求每一项活动 a i (1 ≤ i ≤ m) 的最早开始时间 e(i)=ve(j) ；最晚开始时间
l(i)=vl(k)-dut(<j,k>)
。若某条弧满足 e(i)=l(i) ，则它是关键活动。
输入：
第一行两个整数n，m分别表示顶点个数和边的条数，其中顶点的编号为0~n-1。
接下来的m行，每行有三个数u，v，w，表示从弧尾u到弧头v的边的权值w。
10 13
0 1 3
0 2 4
1 3 5
1 4 6
2 3 8
2 5 7
3 4 3
4 6 9
4 7 4
5 7 6
6 9 2
7 8 5
8 9 3
输出：
输出一条关键路径，格式如下：0->2->3->4->7->8->9
算法分析：
采用广度优先搜索进行拓扑排序，获取拓扑序列的同时计算各顶点事件的最早发生时间，然后逆序计算各顶点事件的最晚发生时间。
本文是《大话数据结构》的读书笔记，但算法实现与《大话数据结构》完全不同，自我感觉比书上的算法要简洁，呵呵！
*/
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAXN 26 //最大顶点数量
#define MAXM 100000 //最大边数量
typedef char VertexType; //顶点类型由用户自定义
typedef int EdgeType; //边上的权值类型由用户自定义
typedef struct Edge{ //边集数组
int u, v; //弧尾和弧头
int next; //指向同一个弧尾的下一条边
EdgeType w; //权值，对于非网图可以不需要
} EdgeLib;
void PrintGraph(int first[], EdgeLib edge[], int n);//输出图
int TopoLogicalSort(int topo[], int Etv[], EdgeLib edge[], int In[], int first[], int n);
void CriticalPath(EdgeLib edge[], int In[], int first[], int n);//求关键路径
int main()
{
int i, m, n;
int In[MAXN], first[MAXN]; //存储顶点信息
EdgeLib edge[MAXM]; //存储边信息
for (i=0; i<MAXN; i++)//初始化图
{
first[i] = -1;
In[i] = 0;
}
printf("请输入顶点数量和边数量:");
scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=0; i<m; i++)
{
scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].w);
edge[i].next = first[edge[i].u];
first[edge[i].u] = i;
In[edge[i].v]++;
}
CriticalPath(edge, In, first, n);//求关键路径
return 0;
}
void PrintGraph(int first[], EdgeLib edge[], int n)//输出图
{
int i, j;
for (i=0; i<n; i++)
{
printf("G[%d] = %c: ", i, i+'a');
j = first[i]; //指向i的第一条边
while (j != -1)
{
printf("<%c, %c>, ", edge[j].u+'a', edge[j].v+'a');
j = edge[j].next; //指向下一条边
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
int TopoLogicalSort(int topo[], int Etv[], EdgeLib edge[], int In[], int first[], int n)
{
int i, k, front, rear;
front = rear = 0;
for (i=0; i<n; i++)//将入度为0的顶点入队列
{
Etv[i] = 0; //初始化各事件最早发生事件为0
if (In[i] == 0)
{
topo[rear++] = i;
}
}
while (front < rear)//采用广度优先搜索获取拓扑序列
{
k = topo[front++];
for (i=first[k]; i!=-1; i=edge[i].next)
{
if (--In[edge[i].v] == 0)
topo[rear++] = edge[i].v;
if (Etv[edge[i].v] < Etv[edge[i].u] + edge[i].w)//更新各顶点事件的最早发生时间
Etv[edge[i].v] = Etv[edge[i].u] + edge[i].w;
}
}
return (rear == n);//如果count小于顶点数，说明存在环
}
void CriticalPath(EdgeLib edge[], int In[], int first[], int n)//求关键路径
{
int i, j;
int topo[MAXN];
int Etv[MAXN], Ltv[MAXN];//存储事件的最早和最晚发生时间
if (!TopoLogicalSort(topo, Etv, edge, In, first, n))
{
puts("不存在关键路径");
return;
}
for (i=0; i<n; i++)
{
Ltv[i] = Etv[n-1]; //初始化各事件最晚发生事件为最后一个事件发生的时间
}
for (j=n-2; j>=0; j--)
{
for (i=first[topo[j]]; i!=-1; i=edge[i].next)
{
if (Ltv[edge[i].u] > Ltv[edge[i].v] - edge[i].w)//更新各顶点事件的最晚发生时间
Ltv[edge[i].u] = Ltv[edge[i].v] - edge[i].w;
}
}
printf("%d", topo[0]); //输出关键路径
for (i=1; i<n; i++)
{
if (Etv[topo[i]] == Ltv[topo[i]])
{
printf("->%d", topo[i]);
}
}
printf("\n");
}
