1.海明码的概念

海明码是一种可以纠正一位差错的编码。它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。它必需满足以下关系式：

2^r>=n+1 或 2^r>=k+r+1

海明码的编码效率为：

R=k/(k+r)

式中 k为信息位位数

r为增加冗余位位数

2.海明码的生成与接收

方法一：

1)海明码的生成。

例1.已知：信息码为："0010"。海明码的监督关系式为：

S2=a2+a4+a5+a6

S1=a1+a3+a5+a6

S0=a0+a3+a4+a6

求：海明码码字。

解：1)由监督关系式知冗余码为a2a1a0。

2)冗余码与信息码合成的海明码是："0010a2a1a0"。

设S2=S1=S0=0,由监督关系式得：

a2=a4+a5+a6=1

a1=a3+a5+a6=0

a0=a3+a4+a6=1

因此，海明码码字为："0010101"

2)海明码的接收。

例2.已知：海明码的监督关系式为：

S2=a2+a4+a5+a6

S1=a1+a3+a5+a6

S0=a0+a3+a4+a6

接收码字为："0011101"(n=7)

求：发送端的信息码。

解：1)由海明码的监督关系式计算得S2S1S0=011。

2)由监督关系式可构造出下面错码位置关系表：

S2S1S0

000

001

010

100

011

101

110

111

错码位置

无错

a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

3)由S2S1S0=011查表得知错码位置是a3。

4)纠错--对码字的a3位取反得正确码字："0 0 1 0 1 0 1"

5)把冗余码a2a1a0删除得发送端的信息码："0010"

方法二：(不用查表，方便编程)

1)海明码的生成（顺序生成法）。

例3.已知：信息码为：" 1 1 0 0 1 1 0 0 " (k=8)

求：海明码码字。

解：1)把冗余码A、B、C、…，顺序插入信息码中，得海明码

码字:" A B 1 C 1 0 0 D 1 1 0 0 "

码位: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

其中A,B,C,D分别插于2k位(k=0,1,2,3)。码位分别为1,2,4,8。

2)冗余码A,B,C,D的线性码位是：(相当于监督关系式)

A->1,3,5,7,9,11；

B->2,3,6,7,10,11；

C->4,5,6,7,12；(注 5=4+1；6=4+2；7=4+2+1；12=8+4)

D->8,9,10,11,12。

3)把线性码位的值的偶校验作为冗余码的值(设冗余码初值为0)：

A=∑(0,1,1,0,1,0)=1

B=∑(0,1,0,0,1,0)=0

C=∑(0,1,0,0,0) =1

D=∑(0,1,1,0,0) =0

4)海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"

2)海明码的接收。

例4.已知：接收的码字为："1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=8)

求：发送端的信息码。

解：1)设错误累加器(err)初值=0

2)求出冗余码的偶校验和，并按码位累加到err中：

A=∑(1,0,1,0,1,0)=1 err=err+20=1

B=∑(0,0,0,0,1,0)=1 err=err+21=3

C=∑(1,1,0,0,0) =0 err=err+0 =3

D=∑(0,1,1,0,0) =0 err=err+0 =3

由err≠0可知接收码字有错，

3)码字的错误位置就是错误累加器(err)的值3。

4)纠错--对码字的第3位值取反得正确码字：

"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"

5)把位于2k位的冗余码删除得信息码："1 1 0 0 1 1 0 0"
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参考资料：
1.http://www.ece.unb.ca/tervo/ee4253/hamming.htm
2.http://www.cs.mcgill.ca/~smroso/hamming.html