[求助]海盗分金问题 - C语言论坛

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著名的海盗分金问题！
话说有5个海盗，抢到了100枚金币，他们决定：
1.抽签决定各人的号码（1，2，3，4，5）；
2.由1号提出分配方案，然后5人表决，当且仅当超过半数同意方案被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼；
3.1号死后，由2号提方案，4人表决，当且仅当超过半数同意时方案通过，否则2号同样被扔入大海；
4.依次类推。
　　推理的时候，注意几个条件：
1. 每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。另外，每个海盗的数学和逻辑都很好，而且很理智。最后，海盗间私底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。
2. 一枚金币是不能被分割的。
3. 每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鱼。
4. 每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的金币。
5. 每个海盗都是现实主义者，如果在一个方案中他得到了1枚金币，而下一个方案中，他有两种可能，一种得到许多金币，一种得不到金币，他会同意目前这个方案，而不会有侥幸心理。他们相信二鸟在林，不如一鸟在手。
6. 每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下，他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。
　　……海盗分金是一道经典智力题，可能很多人都尝试推理过。但是，如果不知道那些条件，尤其是第五个条件，你就不能正确解答这道题。在博弈论中，对称的信息被称为公共知识，只有当一些知识成为大家都知道，而且都知道别人也知道的情况下，困境才能被打破，局面才能发生变化。第一个海盗聪明的利用了公共知识，掌握了其他海盗的心理，才使自己的利益获得了最大化。
1。首先，你要明白一个潜在的条件，每个人都是活命第一，宝石第二。命都没有了宝石有什么用啊？
2。其次，每个人当然投票同意他自己的提案了，傻瓜才不这样呢！对吧。（这不是废话吗？你以为谁是傻瓜啊？）
3。看看每个人的处境：
A. 第5个海盗处境最好，因为他最后才提方案，他一定不会死！而且，他可以反对任何人的方案，因为大家都死了，他才能独吞，他总是反对。
B. 第4个海盗很可怜，因为他很可能会死。假如前面三个都死了，轮到他和第5个海盗分，他死定了，1：1永远没有超过半数，他唯一的机会是在第三个海盗之前解决问题，活命要紧，宝石嘛，再说吧。
C.第3个海盗最牛了，他有一个铁杆的支持者---第4个海盗，因为第4个海盗要活命一定要支持他，否则，第3个海盗死了，第4个海盗也活不了。因此，第3个海盗他赢定了，2：1他想分多少就多少，第4个海盗连屁都不敢放。
D.第2个海烈埠芸闪??蛭??埠芸赡芑崴馈＜偃绲谝桓龊５了懒耍?值降?个海盗提方案，他一点机会都没有，因为，第3，第5个海盗都巴不得前面的人早死掉，就算第四个想支持他，2：2，他还是死定了，所以，第2个海盗唯一的机会在第一次分配就通过。活命要紧，宝石嘛，再说吧。
E.第一个海盗他也有一个铁杆的支持者---第二个海盗，因为他们的命是连在一起的，第一个海盗不论说什么，第二个海盗都会同意的，可是，2：3怎么能赢呢？他的第三个支持者是谁？第3个，第5个海盗是不可能的，唯一的机会在争取第4个海盗的加盟，假如第四个海盗不支持他，第四个海盗正常情况下，只能保命，分宝石是没有机会的，因为，第3个海盗是心狠手辣的，不会分他一个的，而他要活命，只能答应。那么，当第一个海盗提议分第四个海盗一个宝石时候，他都会欣喜若狂地立刻接受，为什么不呢？有聊胜于无啊！所以，第一个海盗独得99个宝石，第四个得一个，第二个海盗活了命比什么都高兴，第三个，第五个海盗干瞪眼没有办法。

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（本帖改编自《科学美国人》杂志中IanStewart的《凶猛海盗的逻辑》）

　　海盗，大家听说过吧。这是一帮亡命之徒，在海上抢人钱财，夺人性命，干的是刀头上舔血的营生。在我们的印象中，他们一般都瞎一只眼，用条黑布或者讲究点的用个黑皮眼罩把坏眼遮上。他们还有在地下埋宝的好习惯，而且总要画上一张藏宝图，以方便后人掘取。不过大家是否知道，他们是世界上最民主的团体。参加海盗的都是桀骜不驯的汉子，是不愿听人命令的，船上平时一切事都由投票解决。船长的唯一特权，是有自己的一套餐具——可是在他不用时，其他海盗是可以借来用的。船上的唯一惩罚，就是被丢到海里去喂鱼。

　　现在船上有若干个海盗，要分抢来的若干枚金币。自然，这样的问题他们是由投票来解决的。投票的规则如下：先由最凶猛的海盗来提出分配方案，然后大家一人一票表决，如果有50%或以上的海盗同意这个方案，那么就以此方案分配，如果少于50%的海盗同意，那么这个提出方案的海盗就将被丢到海里去喂鱼，然后由剩下的海盗中最凶猛的那个海盗提出方案，依此类推。

　　我们先要对海盗们作一些假设。

　　1)　每个海盗的凶猛性都不同，而且所有海盗都知道别人的凶猛性，也就是说，每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。另外，每个海盗的数学和逻辑都很好，而且很理智。最后，海盗间私底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。
　　2)　一枚金币是不能被分割的，不可以你半枚我半枚。
　　3)　每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鱼，这是最重要的。
　　4)　每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的金币。
　　5)　每个海盗都是现实主义者，如果在一个方案中他得到了1枚金币，而下一个方案中，他有两种可能，一种得到许多金币，一种得不到金币，他会同意目前这个方案，而不会有侥幸心理。总而言之，他们相信二鸟在林，不如一鸟在手。
　　6)　最后，每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下，他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。

　　现在，如果有10个海盗要分100枚金币，将会怎样？

　　要解决这类问题，我们总是从最后的情形向后推，这样我们就知道在最后这一步中什么是好的和坏的决定。然后运用这个知识，我们就可以得到最后第二步应该作怎样的决定，等等等等。要是直接就从开始入手解决问题，我们就很容易被这样的问题挡住去路：“要是我作这样的决定，下面一个海盗会怎么做？”

　　以这个思路，先考虑只有2个海盗的情况（所有其他的海盗都已经被丢到海里去喂鱼了）。记他们为P1和P2，其中P2比较凶猛。P2的最佳方案当然是：他自己得100枚金币，P1得0枚。投票时他自己的一票就足够50%了。

　　往前推一步。现在加一个更凶猛的海盗P3。P1知道——P3知道他知道——如果P3的方案被否决了，游戏就会只由P1和P2来继续，而P1就一枚金币也得不到。所以P3知道，只要给P1一点点甜头，P1就会同意他的方案（当然，如果不给P1一点甜头，反正什么也得不到，P1宁可投票让P3去喂鱼）。所以P3的最佳方案是：P1得1枚，P2什么也得不到，P3得99枚。

　　P4的情况差不多。他只要得两票就可以了，给P2一枚金币就可以让他投票赞同这个方案，因为在接下来P3的方案中P2什么也得不到。P5也是相同的推理方法只不过他要说服他的两个同伴，于是他给每一个在P4方案中什么也得不到的P1和P3一枚金币，自己留下98枚。

　　依此类推，P10的最佳方案是：他自己得96枚，给每一个在P9方案中什么也得不到的P2，P4，P6和P8一枚金币。

　　下面是以上推理的一个表（Y表示同意，N表示反对）：

　　　P1　 P2
　　　0　　100
　　　N　　Y

　　　P1　 P2　P3
　　　1　　0　　99
　　　Y　　N　　Y

　　　P1　 P2　 P3　 P4
　　　0　　1　　 0　　99
　　　N　　Y　　 N　　Y

　　　P1　P2　 P3　 P4　 P5
　　　1　　0　　1　　0　　98
　　　Y　　N　　Y　　N　　Y

　　　……

　　　P1　 P2　 P3　 P4　 P5　 P6　 P7　 P8　 P9　 P10
　　　0　　 1　　0　　 1　　0　　1　　 0　　1　　 0　　96
　　　N　　 Y　　N　　Y　　N　　Y　　 N　　Y　　N　　Y

　　现在我们将海盗分金问题推广：

　　1)　改变一下规则，投票中方案必须得到超过50%的票数（只得到50%票数的方案的提出者也会被丢到海里去喂鱼），那么如何解决10个海盗分100枚金币的问题？
　　2)　不改变规则，如果让500个海盗分100枚金币，会发生什么？
　　3)　如果每个海盗都有1枚金币的储蓄，他可以把这枚金币用在分配方案中，如果他被丢到海里去喂鱼，那么他的储蓄将被并在要分配的金币堆中，这时候又怎样？

　　通过对规则的细小改变，海盗分金问题可以有许多变化，但是最有趣的大概是1)和2)（规则仍为50%票数即可）的情况，本帖只对这两种情况进行讨论。

　　首先考虑1)。现在只有P1和P2的情形变得对P2其糟无比：1票是不够的，可是就算他把100枚金币都给P1，P1也照样会把他丢到海里去。可是P2很关键，因为如果P3进行分配方案的话，即使他一枚金币也不给P2，P2也会同意，这样一来P3就有P2这张铁票！P3的最佳方案就是：独吞100枚金币。

　　P4要3张票，而P3是一定反对他的，而如果不给P2一点甜头，P2也会反对，因为P2可以在P3的方案中得救，目前为什么不把P4丢到海里呢？所以要分别给P1和P2一枚金币，这样P4就有包括他自己1票的3票。P4的方案为：P1，P2每人1枚金币，他自己98枚。

　　P5的情况要复杂点，他也要3票。P4是会反对他的，所以不用给，给P3一枚金币就能使他支持自己的方案，因为在接下来的P4方案中他什么也得不到。问题是P1和P2：只要其中有一个支持就可以了。可是只给1枚金币是不行的，P4方案中他们一定有1枚金币可得，所以只要在他们中随便选一个，给2枚金币，另一个就对不起了，不给。这样P5的方案是：自己97枚，P3得1枚，P1或P2得2枚。

　　P6的方案建立在P5的上面，只要给每个P5方案中不得益的海盗1枚金币。要注意的是，P1和P2都应该看作在P5方案中不得益的：他们可能得2枚，可是也可能1枚不得，所以只要P6给他们1枚金币，根据“二鸟在林，不如一鸟在手“的原则，就可以让他们支持P6的方案。所以P6的方案是唯一的：P1，P2，P4每人1枚金币，P6自己拿97枚。

　　这样继续下去，P9的方案是：P3，P5，P7每人1枚金币，然后在P1，P2，P4，P6中任选一人给2枚金币，P9自己得95枚。最后，P10的方案是唯一的：P1，P2，P4，P6，P8每人1枚金币，P10自己得95枚。

　　2)是最有趣的（提醒：我们回到50%票即可的规则）。原题解中的推理过程直到200个海盗都是成立的：P200给每个偶数号的海盗1枚金币，包括他自己，其他海盗什么也得不到。从P201开始，继续推理就变得有点困难了：P201为了不被丢到海里去，必须什么也不留给自己，而给从P1到P199中所有奇数号海盗每人1枚金币，从而争取到100票，加上他自己1票，逃过一劫。P202也什么都得不到，他必须用这100枚金币买通100个从P201的方案中什么也得不到的海盗，要注意到现在这个方案不是唯一的：P201的方案中得不到金币的海盗是所有奇数号的海盗，有101个（包括P201），所以有101种方案。

　　P203必须得到102票，除了自己的1票外，他只有100枚金币，所以只能买到100票，所以可怜的家伙就被丢到海里喂鱼了。但是，P203是个很重要的角色，因为P204知道如果自己的方案不被通过，P203也一样会完蛋，所以他有P203的一张铁票。所以P204可以大出一口气：他自己一票，加上P203一票，然后加上用100枚金币买的确100票，他就得救了！100个有幸得到1枚金币的海盗，可以是P1到P202中任何100个：因为其中的偶数号的从P202的方案中什么也得不到，如果P204给他们中某个海盗1枚金币，这个海盗一定会赞同这个方案；而编号为奇数的海盗呢，只是有可能从P202的方案中得益罢了（可能性为100/101），所以根据“二鸟在林，不如一鸟在手“的原则，如果能得到1枚金币，他也会赞同这个方案。

　　接下去P205是不能把希望放在P203和P204这两张票上的，因为就算他被丢到海里去，P203和P204还可以通过P204的方案机会活下来。P206虽然可以靠P205的铁票，加上自己1票和100枚金币搞到的100票，只有102票，所以他也被丢到海里喂鱼。P207好不了多少，他需要104票，而他自己以及P205和P206的铁票加上100枚金币搞到的100票只有103票——只好下海。

　　P208运气比较好，他同样也要104票，可是P205，P206，P207都会投票赞成他的方案！加上他自己的1票和买来的100票，他终于逃脱了做鱼食的命运。

　　这样我们就有了一种可以一直推下去的新逻辑。海盗可以什么也不留给自己，买上100票，然后依靠一部分一定会被丢下海的海盗的铁票，从而让自己的方案通过。有这样运气的海盗分别是P201，P202，P204，P208，P216，P232，P264，P328和P456……我们看到这样的号码是200加上一个2的次幂。

　　哪些海盗是受益者呢，显然铁票是不用（不能）给金币的。所以只有上一个幸运号码及他以前的那些海盗才有可能得到1枚金币。于是我们得到500海盗分100枚金币的结论是：前44个最凶猛的海盗被丢进海里，然后P456给P1到P328中的100个海盗每人1枚金币。

　　就这样，最凶猛的海盗被丢进海里，而比较凶猛的什么也得不到，而只有最温柔的那些海盗，才有可能得到1枚金币。正如《马太福音》所说：“温柔的人有福了，因为他们必承受地土！“（太5:5）

该学习了。。。