选择排序[分而治之算法应用]
对于给定的n 个元素的数组a [ 0 : n - 1 ]，要求从中找出第k小的元素。当a [ 0 : n - 1 ]被排序时，该元素就是a [ k - 1 ]。假设n = 8，每个元素有两个域k e y和I D，其中k e y是一个整数，I D是一个字符。假设这8个元素为[ ( 1 2 ,a)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 4 ,d)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 2 ,g)，( 2 0 ,h)], 排序后得到数组[ ( 2 ,g)，( 4 ,d)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 1 2 ,a)，( 2 0 ,h) ]。如果k = 1，返回I D为g 的元素；如果k = 8，返回I D为h 的元素；如果k = 6，返回是I D为f 的元素；如果k = 2，返回I D为d 的元素。实际上，对最后一种情况，所得到的结果可能不唯一，因为排序过程中既可能将I D为d 的元素排在a [ 1 ]，也可能将I D为b 的元素排在a [ 1 ]，原因是它们具有相同大小的k e y，因而两个元素中的任何一个都有可能被返回。但是无论如何，如果一个元素在k = 2时被返回，另一个就必须在k = 3时被返回。 选择问题的一个应用就是寻找中值元素，此时k = [n / 2 ]。中值是一个很有用的统计量，例如中间工资，中间年龄，中间重量。其他k值也是有用的。例如，通过寻找第n / 4 , n / 2和3 n / 4这三个元素,可将人口划分为4份。 选择问题可在O ( n l o g n )时间内解决，方法是首先对这n个元素进行排序（如使用堆排序式或归并排序），然后取出a [ k - 1 ]中的元素。若使用快速排序（如图1 4 - 11所示），可以获得更好的平均性能，尽管该算法有一个比较差的渐近复杂性O( n2 )。 可以通过修写程序1 4 - 6来解决选择问题。如果在执行两个w h i l e循环后支点元素a [ l ]被交换到a [ j ] ,那么a [ l ]是a [ l : j ]中的第j - l + 1个元素。如果要寻找的第k 个元素在a [ l : r ]中，并且j - l + 1等于k，则答案就是a [ l ]；如果j - l + 1 < k，那么寻找的元素是r i g h t中的第k - j + l - 1个元素，否则要寻找的元素是left 中的第k个元素。因此，只需进行0次或1次递归调用。新代码见程序1 4 - 7。S e l e c t中的递归调用可用f o r或w h i l e循环来替代（练习2 5）。 程序14-7 寻找第k 个元素 template<class T> T Select(T a[], int n, int k) {// 返回a [ 0 : n - 1 ]中第k小的元素 // 假定a[n] 是一个伪最大元素 if (k < 1 || k > n) throw OutOfBounds(); return select(a, 0, n-1, k); } template<class T> T select(T a[], int l, int r, int k) {// 在a [ l : r ]中选择第k小的元素 if (l >= r) return a[l]; int i = l, // 从左至右的游标 j = r + 1; // 从右到左的游标 T pivot = a[l]; // 把左侧>= pivot的元素与右侧<= pivot 的元素进行交换 while (true) { do {// 在左侧寻找>= pivot 的元素 i = i + 1; } while (a[i] < pivot); do {// 在右侧寻找<= pivot 的元素 j = j - 1; } while (a[j] > pivot); if (i >= j) break; // 未发现交换对象 Swap(a[i], a[j]); } if (j - l + 1 == k) return pivot; // 设置p i v o t a[l] = a[j]; a[j] = pivot; // 对一个段进行递归调用 if (j - l + 1 < k) return select(a, j+1, r, k-j+l-1); else return select(a, l, j-1, k); }
