有一个方法，创建一个数组，里面所有的元素赋值为1.从某一位开始计数，数组元素加起来和为3则说明这个元素应该“出去”，赋值为0，以此类推。
Einmal ist keinmal
回复 楼主 cqm9266
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到m-1的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。现在我们把他们的编号做一下转换：k --> 0k+1 --> 1k+2 --> 2......k-3 --> n-3k-2 --> n-2序列1： 0, 1, 2, 3 … n-2, n-1序列2： 0, 1, 2, 3 … k-1, k+1, …, n-2, n-1序列3： k, k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, 1, 2, 3,…, k-2,序列4：0, 1, 2, 3 …, 5, 6, 7, 8, …, n-3, n-2变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：∵ k=m%n;∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n得到 x‘=(x+m)%n如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].递推公式:f[1]=0;f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。我们输出f[n]由于是逐级递推，不需要保存每个，程序也是异常简单：(注意编号是0 -- n-1)#include <stdio.h>
int main(void)
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = ");
scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i<=n; i++)
s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n", s);
return 0 ;
}
时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。
[ 本帖最后由 embed_xuel 于 2011-12-16 13:23 编辑 ]
