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标题:◆◆Matlab常见问题◆◆[转](1)数学理论
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abingchem
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◆◆Matlab常见问题◆◆[转](1)数学理论

更多请见:http://bbs.dartmouth.edu/~fangq/MATH/FAQ/

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4).什么叫拟合?什么叫插值?二者的区别是什么?
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/6/21, BigGreen/MathTools #

插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分

他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束,求取一个定义
在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数,从而达到获取整体规律的
目的,即通过"窥几斑"来达到"知全豹"。

简单的讲,所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn},通
过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λ3), 使得该函数与已知点集的
差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性,就叫线性拟合或者
线性回归(主要在统计中),否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表
达式也可以是分段函数,这种情况下叫作样条拟合。


而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息,通
过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数,使得该函数在给
定离散点上满足约束。插值函数又叫作基函数,如果该基函数定义在
整个定义域上,叫作全域基,否则叫作分域基。如果约束条件中只有
函数值的约束,叫作Lagrange插值,否则叫作Hermite插值。

从几何意义上将,拟合是给定了空间中的一些点,找到一个已知形式
未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点;而插值是找到一个(
或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。

具体插值拟合的计算参见本节7和第二节6/7/9/40的回复.

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5).如何生成任意分布的随机变量?
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/6/21, BigGreen/MathTools #


首先要生成一个平均分布的伪随机数a
最简单的一种算法是同余法:
y(n+1)=a*y(n) mod M
其中(M, a) 常见的一组取值为(2^31-1= 2147483647, 7^5=16807),可以
生成[0~M-1]上的随机数,通过线性变换可以得到0~1上的均匀随机数

如果你需要产生概率分布函数(PDF)为f(x)的一维随机变量,首先计算
它的概率累积函数(PCF) F(x)=Integrate[f(t),{t,0,x}],则F^-1(y)
既为所需要的随机变量。其中F^-1为PCF的反函数,y为一个[0~1]上的
平均分布随机变量。对于复杂的PDF无法求解反函数的,可以在资料上
查找"变换抽样法"。

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6).FFT输入和输出的意义是什么?
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/6/21, BigGreen/MathTools #


我们可以把FFT简单地看作一个变换器,输入N+1个数,输出N+1个数
,但他们对应的意义不同,如果把输入当作时域,则输出为频域,表
怔了其对应域的变化快慢。

假设输入信号本身的频率为fc(或者说频带宽为fc),被频率为fs的冲击
串采样(由采样定理,fs >= 2*fc),则变换前的N+1个数字对应的x
轴为{t0,t1,…tN}={0,Ts,2*Ts,....,N*Ts} (其中Ts为1/fs,为采样周期)

则变换后的N+1个数对应的x轴变为频率,范围为0~fs,以fs/N为间隔,
既为频率点{0,fs/N,2*fs/N,……,fs},在matlab中如果用fftshift(fft(data))
,则变换后对应x轴为-fs/2~fs/2,如果满足采样定理的化,信号频带-fc~fc
就包含在转换后的频谱里面了,就不会有失真。

注意:变换后的数字为复数,因为其中包括了幅度的信
息,abs(fftshift(fft(data)))为幅度,angle(fftshift(fft(data)))为相位

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7).我有一组x,y,z值,非规则点阵,如何绘制曲面或者等高线或者插值?
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/6/12, SMTH/MathTools #

1.如果你使用matlab,有如下四种解决办法
1.1:
tri=delaunay(x,y);
trimesh(tri,x,y,z); or trisurf(tri,x,y,z);
1.2: 如果你想得到更加精细和光滑的曲线,而且想绘制coutour
则需要用griddata()插值:
[xi,yi]=meshgrid(min(x):dx:max(x),min(y):dy:max(y));
[xi,yi,zi]=griddata(x,y,z,xi,yi,'cubic');
contourf(xi,yi,zi,20);
1.3: 如果你的matlab安装有PDE Toolbox,可以使用pdeplot(),参见帮助
1.4: 如果你可以连接国外,可以使用MIT的Kirill K. Pankratov写的SaGA
工具箱,下载地址在:
http://www.ai-geostats.org/software/Geostats_software/SAGA.htm
http://globec.whoi.edu/software/saga/

2.如果你使用Tecplot

1.先将三列数据按照顺序保存在一个文本文件中
data.dat文件格式为
x1 y1 z1
x2 y2 z2
...
2. Tecplot菜单File\Load Data file,在左上角选择2D
3. 选中zone,菜单Data\Triangulate
4. 双击该zone,将mesh掩藏掉,把contour打开,然后在
左上角选择3D
5. 如果想插值,先创建一个更细的网格,然后用data菜单中
Interpolation

3.如果你使用Mathematica

data={{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},......};
fun=Interpolation[data];
Plot3D[fun[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}];
ContourPlot[fun[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}];

当然,其他还有很多绘图工具,有待补充


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8).请问哪里能找到绘制等高线的算法?
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/7/23, SMTH/MathTools #

在一般的计算机图形学的教材中都有常见算法的描述,下面的网址
有免费的C代码
http://members.bellatlantic.net/~vze2vrva/thesis.html

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9).特征值与奇异值有什么区别?
:#dimond,2002/6/25, SMTH/MathTools #

特征值就不用说了,大家都知道。
奇异值的定义:对于任一个复(实)矩阵A(m*n),设A^为A的共轭转置矩阵,
即A^是n*m阶,则 A^*A (n*n阶)的特征值的非负平方根为 A 的奇异值,
也就是A共有n个奇异值,且全部>=0.

A^*A 是一个半正定矩阵,所以它的特征值>=0

对于半正定的Hermit方阵而言,特征值与奇异值是一一对应的

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10).条件数很大(病态)的矩阵如何求逆?
:#granule,2002/7/4, SMTH/MathTools #

有许多解法!实际上这作为数学的一个分支已经数学家
们抽象出来研究了很多年(ill-posed problems).文献
多的不得了。

简单的解法就是用regularization tools.(典型的是
Tikhonov regularization).还有许多迭代解法。

基本思想是要加约束。

for Ax=b, its standard Tikhonov solution is

x=inv(trans(A)*A+alfa*I)*Trans(A)*b

trans() means transpose; inv() is inverse;
alfa is a positive sclar. The quality of solution
depends on alfa directly. There is a optimal alfa

You can refer to the relevant topics such as:
inverse problems, ill-conditioned problems.

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11).什么是Gaussian拟合?
:#FangQ(Qianqian.Fang@dartmouth.edu),2002/9/23, BigGreen/MathTools #

高斯拟合(Gaussian Fitting)即使用形如:

Gi(x)=Ai*exp((x-Bi)^2/Ci^2)

的高斯函数对数据点集进行函数逼近的拟合方法。

其实可以跟多项式拟合类比起来,不同的是多项式拟合是用幂函数系,
而高斯拟合是用高斯函数系。

使用高斯函数来进行拟合,优点在于计算积分十分简单快捷。这一点
在很多领域都有应用,特别是计算化学。著名的化学软件Gaussian98
就是建立在高斯基函数拟合的数学基础上的。

搜索更多相关主题的帖子: Matlab 数学理论 quot dartmouth MATH 
2007-03-29 21:15
abingchem
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其实,数学是根本,matlab也只是个壳子:)

此人已消失
2007-03-29 21:57
一灯如豆
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说的很对 数学很重要

2007-04-14 14:49
wxf_0501
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是呀,我也觉得数学很重要。
想问个问题,MLE的使用,我想用MLE估计一个多元函数的参数,可以吗?如何做呢?
我的多元函数是对数回归,里面有6个参数需要估计,5个变量。谢谢了!!
2007-04-18 14:21
tuziztt
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没办法,要考试
学得好痛苦。。。
2009-09-17 21:08
lstk
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2010-11-29 16:02
cjluxuwei
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顶,觉得matlab用到的都是最本质的数学原理知识,推导过程。

学会生活
2011-07-12 23:33
LHsheng114
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数学!
2011-09-06 22:33
初夏寒辰
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哎呀哎呀,太好了,对于我这种初学者来说太棒了
2014-03-23 16:29
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