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出自： 编程中国 http://www.bc-cn.net
作者： yu_hua
时间： 2007-11-8 编程论坛首发
声明： 尊重作者劳动，转载请保留本段文字
“嫦娥一号”发射这么久了，已经变成了绕月运行的卫星。
下面给出几个简单的不考虑摄动影响下的轨道参数计算公式。
1。轨道周期T的公式：T = 3.3小时 / sqrt(中心天体的平均密度，克/立方厘米)
⑴卫星绕地球运行时：因为地球平均密度为5.517克/立方厘米，所以不考虑空气阻力
近地圆轨道的运行周期
T0 = 3.3×60分钟 / sqrt(5.517) = 84.3分钟 = 5058秒，从而第一宇宙速度为
V0 = 2π×6371千米 / T0 = 7.914千米/秒，地球的第二宇宙速度(逃逸速度)则为
V∞ = V0×sqrt(2) = 11.19千米/秒
⑵如果圆轨道的高度H(千米)不能忽略不计，则绕地圆轨道的运行周期
TH = T0×(1 + H/R)1.5 = 84.3分钟×(1 + H千米/6371)1.5
式中，中心天体即地球的平均半径R = 6371千米。
⑶通常卫星绕地球运行时的轨道不是正圆，而是椭圆，则上式中轨道高度应理解为
平均高度 H = (近地点高度 ＋ 远地点高度) / 2
应当指出，如果把平均高度Ｈ加上中心天体半径Ｒ，恰好就是椭圆轨道的半长径a。
可见这样做理论上是精确的，因为符合开普勒行星运动第三定律。
⑷针对嫦娥一号给出两个算例：
①已知：近地点高度600千米，远地点高度51000千米，试求环绕地球一圈的周期。
平均高度 H = (600 ＋ 51000) / 2 = 25800 千米
绕行周期 TH = 84.3分钟×(1 + 25800/6371)1.5 = 956.56分钟 ≈ 16小时
②已知：近月点高度200千米，远月点高度8600千米，试求环绕月球一圈的周期。
平均高度 H = (200 ＋ 8600) / 2 = 4400 千米
绕行周期 TH = 108.2分钟×(1 + 4400/1738)1.5 = 718.1分钟 ≈ 12小时
式中，1738千米为月球的半径。108.2分钟为近月轨道周期，推导如下：
T0 = 3.3×60分钟 / sqrt(3.348)=108.2分，式中：3.348为月球平均密度。
所以，月球的“第一宇宙速度”为
V0 = 2π×1738千米 / T0 = 1.682千米/秒
相应地，月球的“逃逸速度”为
V∞ = V0×sqrt(2) = 2.38千米/秒
由于重力场是个保守力场，所以卫星的机械能守恒，从而随着与中心天体间的
距离的增大，重力势能上升，卫星动能下降，速度变慢。于是，过近地点时卫
星的速度最快，而飞过远地点时卫星的速度最慢。故卫星绕中心天体运行时的
2。瞬间速率V的公式：V米/秒 = sqrt[Ｇ×Ｍ吨×(2/r千米 - 1/a千米)]
式中，引力常数Ｇ＝6.672×10-11，Ｍ为中心天体的质量。
已知：地球质量Ｍ地＝5.976×1021吨，月球质量Ｍ月＝7.35×1019吨。
还有：r 为卫星到地心或月心的距离(千米)，a 为椭圆轨道的半长径(千米)
仍针对嫦娥一号给出两个算例：
①已知：近地点高度600千米，远地点高度51000千米，试求嫦娥一号经过这两个
点时的瞬间速率V近和V远。
平均高度 H = (600 ＋ 51000) / 2 = 25800 千米
轨道半长径 a = R + H = 6371 + 25800 = 32171 千米
与地心距离 r近 = R + 600 = 6971 千米
r远 = R + 51000 = 57371 千米
从而 V近 = sqrt[6.672×10-11×5.976×1021×(2/6971 - 1/32171)]
= 10099.5 米/秒 ≈ 10.1 千米/秒
同理 V远 = sqrt[6.672×10-11×5.976×1021×(2/57371 - 1/32171)]
= 1227 米/秒 = 1.227 千米/秒
②已知：近月点高度200千米，远月点高度8600千米，试求嫦娥一号经过这两个
点时的瞬间速率V近和V远。
平均高度 H = (200 ＋ 8600) / 2 = 4400 千米
轨道半长径 a = R月 + H = 1738 + 4400 = 6138 千米
与月心距离 r近 = R月 + 200 = 1938 千米
r远 = R月 + 8600 = 10338 千米
从而 V近 = sqrt[6.672×10-11×7.35×1019×(2/1938 - 1/6138)]
= 2064 米/秒 = 2.064 千米/秒
同理 V远 = sqrt[6.672×10-11×7.35×1019×(2/10338 - 1/6138)]
= 387 米/秒 = 0.387 千米/秒
3。尝试用C语言编写一个程序，对以上两项结果进行动力学验证。换句话说，
就是用数值积分的方法做下列定积分：
远地点
∫ dt
近地点
看看这个定积分的值是否非常接近于周期Ｔ的二分之一。
[提示]速度的瞬间方向总是沿着椭圆的切线方向。此外，本题不能
用开普勒第二定律(面积定律)算，否则将发生循环论证错误。
[参考答案]
物理学告诉我们：时间＝距离/速度，即 dt＝ds/V
微积分指出，极坐标系的线元 ds＝sqrt[(dr)2＋(rdθ)2]＝sqrt[(r')2＋r2]dθ
所以前面给出的那个定积分就演变成
远地点 π
∫ dt ＝∫sqrt[(r')2＋r2]dθ/V
近地点 0
式中 r'＝dr/dθ 即r对θ的一阶导数。下面的工作就是导出 r(θ)的函数关系。
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由椭圆的参数方程
x = a·cosφ
y = b·sinφ
可以证明：椭圆的曲率半径 R曲＝(a2sin2φ＋b2cos2φ)1.5/(ab)
当参数φ＝0度，得到曲率半径的最小值：Rmin＝b2/a
当参数φ＝90度,得到曲率半径的最大值：Rmax＝a2/b
椭圆轨道的极坐标方程是：r = Rmin/(1＋e·cosθ) ＝ b2/(a＋c·cosθ)
式中，偏心率e＝c/a，Rmin为曲率半径最小值。
设中心天体的平均半径为R，卫星(相对于中心天体表面)的高度为H，另外
用下标max和min以区分最大高度和最小高度，用Have表示平均高度。于是
轨道半长径 a ＝ R＋Have＝ R＋(Hmax＋Hmin)/2
此外 焦距 c ＝ (Hmax－Hmin)/2
从而半短径 b ＝ sqrt(a2－c2) ＝ sqrt((R＋Hmax)×(R－Hmin))
椭圆偏心率 e ＝ (Hmax－Hmin)/(2R＋Hmax＋Hmin)
曲率半径 Rmin ＝ (R＋Hmax)(R＋Hmin)/(R＋Have)
轨道的极坐标方程还可写成
r(θ)＝(R＋Hmax)(R＋Hmin)/[R＋Have＋0.5×(Hmax－Hmin)cosθ]
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经推导，r(θ)的一阶导数 r'(θ)＝er2sinθ/Rmin
于是 sqrt[(r')2＋r2]＝r·sqrt[1+(e·r·sinθ/Rmin)2]
＝sqrt(1＋e2＋2e·cosθ)·Rmin/(1＋e·cosθ)2
又因 卫星速率 V＝sqrt[ＧＭ(2/r－1/a)]
所以 被积函数
f(θ)＝sqrt(1＋e2＋2e·cosθ)·Rmin/(1＋e·cosθ)2/sqrt[ＧＭ(2/r－1/a)]
其中 r＝Rmin/(1＋e·cosθ)
π
要完成的积分就是 ∫f(θ)dθ ，并验证积分的结果是否非常接近Ｔ/2
0
第16楼的C程序完成了上述任务。这个程序很“土”，相当于梯形法定积分。
将整个积分区间 0°≤θ≤180°切割为10800等分,子区间宽度△θ为１角分。
运行结果举例：
远地点51000km，近地点600km，轨道长度166133km，卫星周期15小时57.0分钟(嫦娥1号)
远地点71150km，近地点600km，轨道长度210103km，卫星周期24小时0.0分钟 (嫦娥1号)
远地点2384km，近地点439km，轨道长度48707km，卫星周期113.9分钟(中国第1颗人造卫星)
远地点964km，近地点228km，轨道长度43744km，卫星周期96.4分钟(前苏联第1颗人造卫星)
4。月球公转轨道(要同时考虑地球和太阳的影响)计算机模拟。
5。嫦娥一号的地月转移轨道的计算机模拟。这种情况下,必须考虑月球引力场
对嫦娥一号的影响。不过，为了不要把事情弄得过于复杂，我们假设：月球的
公转轨道平面(即白道)与嫦娥一号的地月转移轨道是同一个平面；并且，白道
是一个正圆(半径约为384400千米)、月球的平均公转速度可取1.023千米/秒。
朋友，您愿意接受这一挑战吗？俺暂时不公布答案！！！
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[此贴子已经被作者于2007-11-12 19:18:57编辑过]
，不太喜欢力学
