北京大学 Online Judge 之 “求高精度幂（ID1001）”解题报告
北京大学Online Judge 之 “求高精度幂（ID1001）”解题报告巧若拙（欢迎转载，但请注明出处：http://blog.）
题目描述：
Description
对数值很大、精度很高的数进行高精度计算是一类十分常见的问题。比如，对国债进行计算就是属于这类问题。
现在要你解决的问题是：对一个实数R( 0.0 < R < 99.999 )，要求写程序精确计算 R 的 n 次方(Rn)，其中n 是整数并且 0 < n <= 25。
Input
T输入包括多组 R 和 n。 R 的值占第 1 到第 6 列，n 的值占第 8 和第 9 列。
Output
对于每组输入，要求输出一行，该行包含精确的 R 的 n 次方。输出需要去掉前导的 0 后不要的 0 。如果输出是整数，不要输出小数点。
Sample Input
95.123 12
0.4321 20
5.1234 15
6.7592 9
98.999 10
1.0100 12
Sample Output
548815620517731830194541.899025343415715973535967221869852721
.00000005148554641076956121994511276767154838481760200726351203835429763013462401
43992025569.928573701266488041146654993318703707511666295476720493953024
29448126.764121021618164430206909037173276672
90429072743629540498.107596019456651774561044010001
1.126825030131969720661201
算法分析：
本题考查的知识点是高精度浮点数计算。
为了便于进位，本程序采用了较为独特的数据结构，即把浮点数分成整数和小数部分，分别存储在两个不同的数组中。其中整数部分数字存储在ValInt[MAX-lenInt...MAX) ，小数部分数字存储在ValDec[1...lenDec]，ValDec[0]用来存储进位或借位。这样在计算中补齐0的时候不需要移动数组元素，只需移动下标即可，大大提升了效率。
乘法运算采用了常规卷积算法，但是在计算过程中跳过被乘数中为0的数字，以提高效率，同时每轮循环完毕要注意分解多位数，确保每个元素中只存储一个数字。
由于在乘法子程序中需要分配大数组空间，故乘方采用了高效的非递归算法，以避免出现空间不够的情况。
说明：
算法思想：高精度算法。
数据结构：struct BigNums{
char ValInt[MAX] ;//整数部分
char ValDec[MAX] ;//小数部分
int lenInt, lenDec;//分别表示整数和小数部分长度
} BigNums; //高精度计算结构体
时间复杂度：O(N2logn);其中N为浮点数长度，n为指数大小
空间复杂度：O(MAX+MAX);其中MAX表示精度
参考文献：
高精度浮点数运算（巧若拙）http://blog.
特别感谢编程论坛的版主beyondyf的指导。
代码如下：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAX 2000
typedef struct BigNums{
char ValInt[MAX] ;//整数部分
char ValDec[MAX] ;//小数部分
int lenInt, lenDec;//分别表示整数和小数部分长度
} BigNums; //高精度计算结构体
BigNums CreatBigNums(char str[]);
void PrintBigNums(BigNums A);
void Mul(BigNums *C, BigNums *A, BigNums *B);//高精度乘法
void PowBigNums(BigNums *C, BigNums *A, int n);//高精度幂运算
char main(void)
{
char str[MAX];
BigNums A, B;
int n;
while (scanf("%s%d", str, &n) == 2)
{
A = CreatBigNums(str);
PowBigNums(&B, &A, n);
PrintBigNums(B);
}
return 0;
}
void PrintBigNums(BigNums A)
{
int i;
for (i=MAX-A.lenInt; i<MAX; i++)
printf("%d", A.ValInt[i]);
if (A.lenDec > 0)
{
printf(".");
for (i=1; i<=A.lenDec; i++)
printf("%d", A.ValDec[i]);
}
printf("\n");
}
BigNums CreatBigNums(char str[])
{
int i, j, n, f;
BigNums A;
i = 0;
n = 0;
while (str[i] != '.' && str[i] != '\0')//获取整数部分
{
A.ValInt[n++] = str[i++] - '0';
}
A.ValDec[0] = 0; //A.ValDec[0] 用来存储进位或借位，初始化为0
f = 0;
if (str[i] == '.')
{
i++;
while (str[i] != '\0')//获取小数部分
{
A.ValDec[++f] = str[i++] - '0';
}
}
A.lenDec = f;
while (A.lenDec > 0 && A.ValDec[A.lenDec] == 0)//消除小数部分多余的后缀0
{
A.lenDec--;
}
for (i=MAX-1,j=n-1; j>=0; i--,j--)//把整数部分移动到数组的右侧
A.ValInt[i] = A.ValInt[j];
for (j=0; j<=i; j++) //数组的其他部分初始化为0
A.ValInt[j] = 0;
while (A.ValInt[i] == 0) //消除整数部分多余的前缀0
i++;
A.lenInt = MAX - i;
return A;
}
void Mul(BigNums *C, BigNums *A, BigNums *B)//高精度乘法
{
char pA[MAX] = {0};//存储A的数字（包括整数和小数）
char pB[MAX] = {0}; //存储B的数字（包括整数和小数）
char pC[MAX+MAX] = {0};//存储乘积的数字（包括整数和小数）
int leftA, leftB, leftC;
int i, j, k;
//复制数字
for (i=MAX-1,j=A->lenDec; j>0; j--)
pA[i--] = A->ValDec[j];
for (j=MAX-1,k=0; k<A->lenInt; j--, k++)
pA[i--] = A->ValInt[j];
leftA = i + 1; //指向pA的最高位
for (i=MAX-1,j=B->lenDec; j>0; j--)
pB[i--] = B->ValDec[j];
for (j=MAX-1,k=0; k<B->lenInt; j--, k++)
pB[i--] = B->ValInt[j];
leftB = i + 1; //指向pB的最高位
//乘法运算
for (i=MAX-1; i>=leftA; i--) //从低位到高位相乘，可确保低位数字小于10
{
if (pA[i] == 0)
continue;
for (j=MAX-1; j>=leftB; j--)
{
pC[i+j] += pA[i] * pB[j];
pC[i+j-1] += pC[i+j] / 10;
pC[i+j] %= 10;
}
for (k=i+j; pC[k] >= 10; k--) //分解多位数
{
pC[k-1] += pC[k] / 10;
pC[k] %= 10;
}
}
leftC = leftA + leftB - 1;
//先复制小数部分，从左往右复制，可以舍弃右边超出精度的小数部分
C->lenDec = A->lenDec + B->lenDec;
C->ValDec[0] = 0;
for (i=1,j=MAX+MAX-1-C->lenDec; j<MAX+MAX-1 && i<MAX; i++,j++)
{
C->ValDec[i] = pC[j];
}
//再取整数部分，这里假设不会超出数组最大空间
for (i=MAX-1, j=MAX+MAX-2-C->lenDec; j>=leftC; i--,j--)
C->ValInt[i] = pC[j];
C->lenInt = MAX -1 -i;
while (C->ValInt[MAX-C->lenInt] == 0) //消除整数部分多余前缀0
C->lenInt--;
}
void PowBigNums(BigNums *C, BigNums *A, int n) //非递归高效算法
{
int stack[MAX] = {0};
int i, top = 0;
while (n > 0) //利用一个栈来存储n的状态：奇数还是偶数
{
stack[top++] = n % 2;
n /= 2;
}
C->ValInt[MAX-1] = 1;
C->lenInt = 1;
C->lenDec = 0;
for (i=top-1; i>=0; i--)
{
Mul(C, C, C); //a^n = a^(n/2)*a^(n/2)*f(a)
if (stack[i] == 1) //其中f(a) = 1(n%2==0)或f(a) = a(n%2==1)
Mul(C, C, A);
}
}
